3.216 \(\int \coth ^3(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=83 \[ -\frac {(2 a+b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right )-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \]

[Out]

-1/2*(2*a+b)*arctanh((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)/a^(1/2))/a^(1/2)+arctanh((a+b*tanh(x)^2)^(1/2)/(a+b)^(1/2))*(a+b)^(
1/2)-1/2*coth(x)^2*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.16, antiderivative size = 83, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {3670, 446, 99, 156, 63, 208} \[ -\frac {(2 a+b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right )-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

-((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/(2*Sqrt[a]) + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sq
rt[a + b]] - (Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 99

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((a + b
*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1))/((m + 1)*(b*e - a*f)), x] - Dist[1/((m + 1)*(b*e - a*f)), Int[(a +
b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^(n - 1)*(e + f*x)^p*Simp[d*e*n + c*f*(m + p + 2) + d*f*(m + n + p + 2)*x, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e, f, p}, x] && LtQ[m, -1] && GtQ[n, 0] && (IntegersQ[2*m, 2*n, 2*p] || IntegersQ[m, n + p
] || IntegersQ[p, m + n])

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \coth ^3(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\sqrt {a+b x^2}}{x^3 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\sqrt {a+b x}}{(1-x) x^2} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\frac {1}{2} (2 a+b)+\frac {b x}{2}}{(1-x) x \sqrt {a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {1}{2} (a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(1-x) \sqrt {a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )+\frac {1}{4} (2 a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \sqrt {a+b x}} \, dx,x,\tanh ^2(x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+\frac {(a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}-\frac {x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}\right )}{b}+\frac {(2 a+b) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-\frac {a}{b}+\frac {x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}\right )}{2 b}\\ &=-\frac {(2 a+b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right )-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.22, size = 83, normalized size = 1.00 \[ -\frac {(2 a+b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}+\sqrt {a+b} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{\sqrt {a+b}}\right )-\frac {1}{2} \coth ^2(x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]^3*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2],x]

[Out]

-1/2*((2*a + b)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sqrt[a]])/Sqrt[a] + Sqrt[a + b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]/Sq
rt[a + b]] - (Coth[x]^2*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.79, size = 4891, normalized size = 58.93 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4
*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sin
h(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2
)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2
+ b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)
*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*co
sh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*c
osh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)
*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cos
h(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (1
5*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 +
6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(
x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*
cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 +
6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*si
nh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a +
b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a - b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a + b)*cosh(x))*sin
h(x) + 2*a + b)*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2
*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3
+ sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + (a*cosh(x)
^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 -
a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4
- 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 -
1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^
2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt
(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)
/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x
)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a), 1/4*(2*((2*a + b)*cosh(x)^4
+ 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a
- b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a + b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh
(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh
(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 +
2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sin
h(x) + a + b)) + (a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*si
nh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(a + b)*log(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*
cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + a^2*b + 14*(a^3 + a^2*b
)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2
*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 + 30*(2*a^3 + a^2*b)
*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^
2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3
+ a^2*b)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b - b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)
*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 + 3*a^2*cosh(x)^4 + 3
*(5*a^2*cosh(x)^2 + a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 + 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cos
h(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 + 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*a^2*
cosh(x)^5 + 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a
+ b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^
3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(
cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6
*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + (a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a
*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(
a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)
*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a -
b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)
^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(((
a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*cosh(x)^4 + 4*a
*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x
))*sinh(x) + a), -1/4*(2*(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2
- a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh
(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sin
h(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b
+ b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + 2*(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*si
nh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x)
+ a)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*co
sh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a +
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4
*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^
3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a - b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)
*cosh(x)^3 - (2*a + b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sin
h(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2*a - b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(
2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b
)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 + (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b
)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 -
cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)
^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(
x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a
), 1/2*(((2*a + b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a + b)*cosh(x)^2 + 2
*(3*(2*a + b)*cosh(x)^2 - 2*a - b)*sinh(x)^2 + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2*a + b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)*
sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a
+ b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*si
nh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cos
h(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - (a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)
^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a
*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)
^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + a*b - b^2)*si
nh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - (a*cosh(x)
^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 -
a*cosh(x))*sinh(x) + a)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a -
b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*
cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a
- b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(
x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh
(x) + sinh(x)^2)))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 - a)*
sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 1.76, size = 557, normalized size = 6.71 \[ \frac {{\left (2 \, a + b\right )} \arctan \left (-\frac {\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} - \sqrt {a + b}}{2 \, \sqrt {-a}}\right )}{\sqrt {-a}} - \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -{\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} {\left (a + b\right )} - \sqrt {a + b} {\left (a - b\right )} \right |}\right ) + \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b} \right |}\right ) - \frac {1}{2} \, \sqrt {a + b} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} - \sqrt {a + b} \right |}\right ) + \frac {2 \, {\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{3} {\left (2 \, a + b\right )} + {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} {\left (2 \, a - 3 \, b\right )} \sqrt {a + b} - {\left (2 \, a^{2} + 3 \, a b - 3 \, b^{2}\right )} {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} - {\left (2 \, a^{2} - a b + b^{2}\right )} \sqrt {a + b}\right )}}{{\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} - 2 \, {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} \sqrt {a + b} - 3 \, a + b\right )}^{2}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

(2*a + b)*arctan(-1/2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) -
sqrt(a + b))/sqrt(-a))/sqrt(-a) - 1/2*sqrt(a + b)*log(abs(-(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x)
+ 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*(a + b) - sqrt(a + b)*(a - b))) + 1/2*sqrt(a + b)*log(abs(-sqrt(a + b)*e
^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) + sqrt(a + b))) - 1/2*sqrt(a + b)*log
(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) - sqrt(a + b))) +
2*((sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^3*(2*a + b) + (sqrt
(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^2*(2*a - 3*b)*sqrt(a + b) -
(2*a^2 + 3*a*b - 3*b^2)*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b
)) - (2*a^2 - a*b + b^2)*sqrt(a + b))/((sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e
^(2*x) + a + b))^2 - 2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))
*sqrt(a + b) - 3*a + b)^2

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.35, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (\coth ^{3}\relax (x )\right ) \sqrt {a +b \left (\tanh ^{2}\relax (x )\right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^3*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(coth(x)^3*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {b \tanh \relax (x)^{2} + a} \coth \relax (x)^{3}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^3*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*tanh(x)^2 + a)*coth(x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int {\mathrm {coth}\relax (x)}^3\,\sqrt {b\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2+a} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^3*(a + b*tanh(x)^2)^(1/2),x)

[Out]

int(coth(x)^3*(a + b*tanh(x)^2)^(1/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \sqrt {a + b \tanh ^{2}{\relax (x )}} \coth ^{3}{\relax (x )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)**3*(a+b*tanh(x)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*tanh(x)**2)*coth(x)**3, x)

________________________________________________________________________________________